Teorema lui Napoleon

Pe laturile unui triunghi se construiesc in exterior (sau in interior) trei triunghiuri echilaterale. Napoleon ne spune ca centrele de greutate ale acestor triunghiuri formeaza un nou triunghi echilateral.

Simplificand un pic figura, ne concentram asupra triunghiului DBC.
Aplicand acestuia o rotatie cu 30 grade in jurul punctului B obtinem un nou triunghi D'BC' congruent cu acesta, care va avea ca laturi medianele corespunzatoare laturilor DA si CE in triunghiurile echilaterale ABD si BCE.
Cu alte cuvinte segmentul OM, una din laturile triunghiului lui Napoleon, are varfurile pe laturile BD' si BC', iar din motive de asemanare intre triunghiurile BOM si BD'C' acest segment este paralel cu D'C' si in plus lungimea lui este o fractiune din lungimea lui D'C' egala cu (2/3)*cos(pi/6).
In plus de asta, observand ca triunghiurile DBC si ABE sunt congruente, rezulta ca DC si AE au aceeasi lungime. Extinzand rationamentul si la al treilea triunghi echilateral contruit pe latura AC rezulta ca:

DC=AE=BF

In concluzie segmentele OM, ON si MN au lungimi egale.

In plus, cele trei segmente DC, AE, BF se intersecteaza intr-un acelasi punct si sub unghi de 120 grade. Din acest motiv, punctul lor de intersectie se afla pe cercurile circumscrise celor trei triunghiuri echilaterale.