Distanta dintre centrul cercului inscris si centrul cercului circumscris unui triunghi se poate scrie in functie de lungimile razelor celor doua cercuri astfel:
OI*OI = R(R-2r)
De aici rezulta ca intotdeauna R>2r
Pentru a demonstra formula de mai sus tinem cont de puteresa punctului I in raport cu cercul circumscris:
(R-OI)(R+OI)=AI*IE - E este al doilea punct de intersectie intre bisectoarea unghiului A si cercul circumscris, adica R*R-d*d=AI*IE
Daca demonstram ca AI*IE=2Rr atunci problema este rezolvata.
Construind un diametru in cercul circumscris prin pnctul E obtinem, impreuna cu punctul B un triunghi dreptunghic asemena cu AID (in cele doua triunghiuri exista doua unghiuri care subintind aceeasi coarda BE).
De asemenea, triunghiul BEI este isoscel (2 unghiuri egale)
rezulta ca AI/ID=AE/BE
sau
AI*IE=2rR
adica (R-OI)*(R+OI)=2Rr
sau OI*OI=R(R-2r)
qed
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu