Teorema lui Feuerbach

Fie ABC un triunghi (eventual nedreptunghic). Daca E, F, G sunt situate pe BC, AC, respectiv AB atunci triunghiul EFG are perimetrul minim daca si numai daca EFG este triunghi ortic al ABC.

Atunci cand ABC este dreptunghic atunci triunghiul ortic degenereaza intr-un segment care este de fapt inaltimea unghiului drept.

Daca triunghiul ABC are un unghi obtuz atunci triunghiul de perimetru minim tinde catre acelasi segment reprezentat de inaltimea din unghiul obtuz.

Fie B' simetricul lui B fata de AC si C' simetricul lui C fata AB'.

In mod similar se construiesc punctele D', E', F' si F''.

Rezulta ca perimetrul triunghiului DEF este egal cu lungimea liniei frante FED'F'', adica suma segmentelor FE, ED' si D'F''.

Daca mentinem fix puncrul F atunci F'' este si el fix, lungimea liniei frante FED'F'' fiind minima cand E si D' se afla pe FF''.

In plus, presupunand ca E si D' se afla pe FF'', in ce conditii lungimea lui FF'' este minima ?

Problema se reduce la gasi pozitia de perimetru minim pentru un triunghi cu un unghi fix si doua laturi cu suma lungimilor constanta (vezi fig urmatoare)

Folosind teorema cosinusului in triunghiul ABC obtinem o ecuatie de gradul doi care exprima a in functie de b (sau c), minimul lui a obtinandu-se cand b=c, adica atunci cand triunghiul este isoscel.

Cu alte cuvinte, revenind la cursul demonstratiei, segmentul FF'' are lungimea minima cand FF'' este perpendicular pe bisectoarea unghiului format de dreptele ce contin punctele BC si B'C', bisectoare care trece prin punctul A. Unghiul respectiv are masura egala cu 180-2*A

Rezulta ca atunci cand FF'' este perpendicular pe AK unghiul dintre FF'' si BC este egal cu A.

Adica triunghiurile CFE si CAB sunt asemenea, rezulta ca AED' si AB'C sunt asemenea si la fel B'D'F'' si B'C'A.

Mai exact ADE asemenea cu ACB, etc.

Acest lucru se intampla doar cand D, E si F sunt picioarele inaltimilor triunghiului ABC.