marți, 31 martie 2009

despre cercuri ortogonale

Cercurile ortogonale sunt cercuri care se intersecteaza sub unghi de 90 grade, mai exact, doua raze care ajung in acelasi punct de intersectie sunt perpendiculare (vezi figura: O1A si O2A sunt perpendiculare.
Fie C mijlocul segmentului AB - secanta comuna a celor doua cercuri si DE o secanta in cercul C1 care trece prin C.
O proprietate foarte interesanta este urmatoarea:
  • punctele O1, O2, D si E sunt concentrice.
Lucrul acesta se demonstreaza foarte usor tinand cont ca:
  • DC*CE=AC*CB (A, B, D, E sunt puncte concentrice)
  • CB*CB=O1C*O2C (CB este inaltime in triunghiul dreptunghic BO1O2)
  • deci O1C*O2C=DC*CE ceea ce inseamna ca O1, O2, D si E sunt pe acelasi cerc.
  • Un alt lucru foarte important O1D si O1E sunt raze in cercul C1, rezulta ca O1O2 este bisectoarea unghiului DO2E dar in plus este si mediatoarea segmentului AB
Vom vedea intr-o problema viitoare la ce ne ajuta acest lucru:).