Simetrica medianei fata de bisectoare se numeste symediana. Se poate demonstra foarte repede ca symedianele unui triunghi sunt concurente.
Pentru aceasta construim triunghiul A1B1C1 din trei drepte tangente la cercul circumscris lui ABC in varfurile A, B si C.
Astfel, cercul c circumscris lui ABC va fi cercul inscris in A1B1C1.
De asemenea, tinand cont de faptul ca cercurile circumscrise triunghiurilor ABC si A1BC sunt cercuri ortogonale (vezi problema referitoare la cercuri ortogonale) rezulta ca symediana din varful A va terce prin punctul de concurenta al tangentelor la cercul circumscris in punctele B si C. Mai exact, AIEA1 este inscriptibil deci bisectoarea unghiului AA1E este mediatoarea segmentului BC, de unde deducem ca arcele BG si EC au masuri egale, deci AA1 este symediana corespunzatoare varfului A.
Folosind teorema lui CEVA in triunghiul A1B1C1, se obtine relatia de concurenta a celor trei simediane AA1, BB1, CC1.
IMPLICATII:
IMPLICATII:
- Atunci cand punctul A se misca pe un cerc fix care contine si punctele B si C, symediana (cat si mediana si bisectoarea) trece printr-un punct fix (A1).
- In aceleasi conditii raportul dintre lungimea medianei si lungimea AA1 a symedianei este constant.
