despre patrulaterul inscriptibil

Fie ABCD un patrulater inscriptibil, O centrul cercului circumscris si I punctul de intersectie al diagonalelor. Notam cu O1 si O2 centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABI si CDI.
Atunci patrulaterul OO1IO2 este paralelogram.
In plus secanta comuna IE a celor doua cercuri trece prin punctul de intersectie a laturilor AB si CD. Acest lucru il voi demonstra intr-o problema viitoare.

Se demonstreaza relativ usor ca segmentul O1I este perpendicular pe CD, iar segmentul O2I este perpendicular pe AB.
Tinand cont de faptul ca OO1 si OO2 sunt mediatoarele segmentelor AB respectiv CD rezulta ca OO1 si IO2 respectiv OO2 si IO1 sunt paralele.
Rezulta ca punctul O se afla la jumatatea segmentului I1I2, segment care uneste punctele diametral opuse lui I in cercurile de centre O1 si O2.

Ce se intampla atunci cand unghiul dintre diagonala DB si latura BC (respectiv AC si AD) este unghi drept?

• Punctul O devine mijlocul laturii CD.
• Punctul I devine ortocentru in triunghiu format de I1, simetricul sau in raport cu O1 si latura CD
• I1O este mediana laturii CD in triunghiul I1CD, cu alte cuvinte, mediana laturii CD trece prin al doilea punct de intersectie al cercurilor de centre O1 si O2.

Proprietati ale patrulaterului inscriptibil

Patrulaterul ABCD este inscris in cercul c de centru O. Diagonalele AC si BD se intersecteaza in I. G si H sunt mijloacele laturilor AB si CD. EF este un segment perpendicular in I pe OI
Avem urmatoarele proprietati:

• triunghiurile AIB si DIC sunt asemenea
• de asemenea triunghiurile AIG si DIH sunt asemenea
• unghiurile AIG si DIH respectiv IGO si IHO sunt egale
• rezulta ca patrulaterele OIEG si OIFH sunt inscriptibile
• deoarece unghiul IGO este egal cu IHO si subintind aceasi coarda OI rezulta ca cele doua cercuri circumscrise patrulaterelor OIEG si OIFH au raze egale deci si diametre egale
• rezulta ca triunghiurile dreptunghice OIE si OIF sunt congruente
• in concluzie segmentele IE si IF sunt congruente
  

o proprietate simpla la patrulatere

Unind mijloacele laturilor unui patrulater oarecare obtinem un paralelogram!
Este usor de observat ca fiecare din segmentele nou formate este paralel cu si jumatate din diagonala care apare ca baza in triunghiul aferent lui....