Teorema lui Euler

Distanta dintre centrul cercului inscris si centrul cercului circumscris unui triunghi se poate scrie in functie de lungimile razelor celor doua cercuri astfel:

OI*OI = R(R-2r)

De aici rezulta ca intotdeauna R>2r

Pentru a demonstra formula de mai sus tinem cont de puteresa punctului I in raport cu cercul circumscris:

(R-OI)(R+OI)=AI*IE - E este al doilea punct de intersectie intre bisectoarea unghiului A si cercul circumscris, adica R*R-d*d=AI*IE
Daca demonstram ca AI*IE=2Rr atunci problema este rezolvata.
Construind un diametru in cercul circumscris prin pnctul E obtinem, impreuna cu punctul B un triunghi dreptunghic asemena cu AID (in cele doua triunghiuri exista doua unghiuri care subintind aceeasi coarda BE).

De asemenea, triunghiul BEI este isoscel (2 unghiuri egale)
rezulta ca AI/ID=AE/BE
sau
AI*IE=2rR
adica (R-OI)*(R+OI)=2Rr
sau OI*OI=R(R-2r)

qed

cercul lui EULER

Mijloacele laturilor, picioarele inaltimilor si mijloacele segmentelor care unesc varfurile cu ortocentrul sunt 9 puncte conciclice.

Se observa usor ca A1A'B'C' este un trapez isoscel (unghiurile C1A1B, ABC si B'A'C sunt congruente), iar mediatoarea segmentului B1C1 trece chiar prin mijlocul segmentului AH, si tinand cont ca A1A este bisectoare in triunghiul ortic rezulta ca intersectia ei cu mediatoarea segmentului B1C1 este chiar pe cercul circumscris triunghiului ortic.
Simplu si eficient.:)

Observam ca punctele K si A' (si respectiv echivalentele lor) sunt diametral opuse (unghiul KA1A' are 90 grade).

Segmentele A'C1 si A'B1 sunt congruente.

despre cercuri ortogonale

Cercurile ortogonale sunt cercuri care se intersecteaza sub unghi de 90 grade, mai exact, doua raze care ajung in acelasi punct de intersectie sunt perpendiculare (vezi figura: O1A si O2A sunt perpendiculare.
Fie C mijlocul segmentului AB - secanta comuna a celor doua cercuri si DE o secanta in cercul C1 care trece prin C.
O proprietate foarte interesanta este urmatoarea:

• punctele O1, O2, D si E sunt concentrice.

Lucrul acesta se demonstreaza foarte usor tinand cont ca:

• DC*CE=AC*CB (A, B, D, E sunt puncte concentrice)
  
• CB*CB=O1C*O2C (CB este inaltime in triunghiul dreptunghic BO1O2)
• deci O1C*O2C=DC*CE ceea ce inseamna ca O1, O2, D si E sunt pe acelasi cerc.
• Un alt lucru foarte important O1D si O1E sunt raze in cercul C1, rezulta ca O1O2 este bisectoarea unghiului DO2E dar in plus este si mediatoarea segmentului AB

Vom vedea intr-o problema viitoare la ce ne ajuta acest lucru:).

Proprietati ale patrulaterului inscriptibil

Patrulaterul ABCD este inscris in cercul c de centru O. Diagonalele AC si BD se intersecteaza in I. G si H sunt mijloacele laturilor AB si CD. EF este un segment perpendicular in I pe OI
Avem urmatoarele proprietati:

• triunghiurile AIB si DIC sunt asemenea
• de asemenea triunghiurile AIG si DIH sunt asemenea
• unghiurile AIG si DIH respectiv IGO si IHO sunt egale
• rezulta ca patrulaterele OIEG si OIFH sunt inscriptibile
• deoarece unghiul IGO este egal cu IHO si subintind aceasi coarda OI rezulta ca cele doua cercuri circumscrise patrulaterelor OIEG si OIFH au raze egale deci si diametre egale
• rezulta ca triunghiurile dreptunghice OIE si OIF sunt congruente
• in concluzie segmentele IE si IF sunt congruente
  

Cercurile lui Titeica

Trei cercuri de raze egale trec printr-un punct, intersectandu-se doua cate doua in alte 3 puncte. Sa se demonstreze ca cele trei puncte sunt pe un cerc de aceeasi raza ca a celorlate 3 cercuri initiale.
Este usor de observat ca centrele celor 3 cercuri sunt pe un cerc de aceeasi raza si cu centrul in punctul de intersectie al celor 3 cercuri. De asemenea observam ca punctele J si K sunt centrele a doua romburi AOBP si AOCN. Rezulta ca BCNP este paralelogram. In fine rezulta ca triunghiurile ABC si MNP sunt congruente deci cercurile circumscrise lor vor fi si ele egale... qed

Foarte frumoasa problema.
Observam ca cele doua triunghiuri sunt oarecum siameze in sensul ca:

• centrul cercului circumscris unuia este ortocentrul celuilalt si invers.

despre ortocentrul unui triunghi

Ortocentrul este punctul de intersectie al inaltimilor unui triunghi.
El are niste proprietati speciale si anume:

• Simetricele ortocentrului fata de cele trei laturi ale triunghiului se afla pe cercul circumscris (vezi figura HA1=A1HA)

• Unghiul dintre o inaltime si o latura care pleaca din acelasi varf este egal cu unghiul dintre raza cercului circumscris si cealalta latura care pleaca din acelasi varf cu inaltimea (vezi figura alfa=beta)