Cercurile lui Titeica

Trei cercuri de raze egale trec printr-un punct, intersectandu-se doua cate doua in alte 3 puncte. Sa se demonstreze ca cele trei puncte sunt pe un cerc de aceeasi raza ca a celorlate 3 cercuri initiale.
Este usor de observat ca centrele celor 3 cercuri sunt pe un cerc de aceeasi raza si cu centrul in punctul de intersectie al celor 3 cercuri. De asemenea observam ca punctele J si K sunt centrele a doua romburi AOBP si AOCN. Rezulta ca BCNP este paralelogram. In fine rezulta ca triunghiurile ABC si MNP sunt congruente deci cercurile circumscrise lor vor fi si ele egale... qed

Foarte frumoasa problema.
Observam ca cele doua triunghiuri sunt oarecum siameze in sensul ca:

• centrul cercului circumscris unuia este ortocentrul celuilalt si invers.

despre ortocentrul unui triunghi

Ortocentrul este punctul de intersectie al inaltimilor unui triunghi.
El are niste proprietati speciale si anume:

• Simetricele ortocentrului fata de cele trei laturi ale triunghiului se afla pe cercul circumscris (vezi figura HA1=A1HA)

• Unghiul dintre o inaltime si o latura care pleaca din acelasi varf este egal cu unghiul dintre raza cercului circumscris si cealalta latura care pleaca din acelasi varf cu inaltimea (vezi figura alfa=beta)

info

Postarile din acest blog vor contine diverse informatii despre geometrie dar si probleme pe care le-am intalnit in timp. Puteti propune probleme care v-au captat mai mult atentia cat si solutii noi la problemele propuse de mine!
Va multumesc pentru atentie!