dreapta lui euler

Ortocentrul H, centrul cercului median O0, centrul de greutate G si centrul cercului circumscris sunt colineare.

O proprietate foarte frumoasa a triunghiului ortic: mediatoarele laturilor sale injumatatesc atat segmentele care unesc ortocentrul cu varfurile triunghiului cat si segmentul care uneste ortocentrul cu centrul cercului circumscris cat si laturile triunghiului, dupa cum vom vedea mai tarziu.
Tocmai am demonstrat ca centrul cercului median este la jumatatea distantei dintre O si H.

De asemenea, aceste mediatoare sunt paralele cu diametrele cercului circumscris care trec prin varfurile A,B si C.

Se demonstreaza foarte repede ca HBEC este paralelogram ceea ce implica HA' egal A'E, cu alte cuvinte mediana laturii BC este si mediana a laturii HE in triunghiul AHE. O alta mediana a acestui triunghi este si HO, adica centrul de greutate al triunghiului AHE se afla pe segmentul HO la 1/3 din lungimea HO de O.

Particularizari:

• intr-un triunghi dreptunghic dreapta lui EULER este chiar mediana ipotenuzei, ortocentrul se afla in varful unghiului drept si centrul cercului circumscris se afla chiar la jumatatea ipotenuzei.
• de asemenea intr-un triunghi isoscel cele doua puncte O si H se afla pe mediana care pleaca din varful triunghiului (stim noi care varf:))
  

cercul lui EULER

Mijloacele laturilor, picioarele inaltimilor si mijloacele segmentelor care unesc varfurile cu ortocentrul sunt 9 puncte conciclice.

Se observa usor ca A1A'B'C' este un trapez isoscel (unghiurile C1A1B, ABC si B'A'C sunt congruente), iar mediatoarea segmentului B1C1 trece chiar prin mijlocul segmentului AH, si tinand cont ca A1A este bisectoare in triunghiul ortic rezulta ca intersectia ei cu mediatoarea segmentului B1C1 este chiar pe cercul circumscris triunghiului ortic.
Simplu si eficient.:)

Observam ca punctele K si A' (si respectiv echivalentele lor) sunt diametral opuse (unghiul KA1A' are 90 grade).

Segmentele A'C1 si A'B1 sunt congruente.