Fie ABCD un patrulater inscriptibil, O centrul cercului circumscris si I punctul de intersectie al diagonalelor. Notam cu O1 si O2 centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABI si CDI.
Atunci patrulaterul OO1IO2 este paralelogram.
In plus secanta comuna IE a celor doua cercuri trece prin punctul de intersectie a laturilor AB si CD. Acest lucru il voi demonstra intr-o problema viitoare.
Se demonstreaza relativ usor ca segmentul O1I este perpendicular pe CD, iar segmentul O2I este perpendicular pe AB.
Tinand cont de faptul ca OO1 si OO2 sunt mediatoarele segmentelor AB respectiv CD rezulta ca OO1 si IO2 respectiv OO2 si IO1 sunt paralele.
Rezulta ca punctul O se afla la jumatatea segmentului I1I2, segment care uneste punctele diametral opuse lui I in cercurile de centre O1 si O2.
Ce se intampla atunci cand unghiul dintre diagonala DB si latura BC (respectiv AC si AD) este unghi drept?
- Punctul O devine mijlocul laturii CD.
- Punctul I devine ortocentru in triunghiu format de I1, simetricul sau in raport cu O1 si latura CD
- I1O este mediana laturii CD in triunghiul I1CD, cu alte cuvinte, mediana laturii CD trece prin al doilea punct de intersectie al cercurilor de centre O1 si O2.
